Somme de n termes consécutifs d'une suite arithmétique

Propriété

Soit \((u_n)\) une suite arithmétique de raison \(r\) et de premier terme \(u_0\). La somme \(S\) de \(n\) termes consécutifs de la suite \((u_n)\) est donnée par :

\(\boxed{S=\text{nombre de termes dans la somme} \times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}}\)\(\)

Exemple

Considérons \((u_n)\) la suite arithmétique de raison \(3\) et de premier terme \(u_0=1\). On cherche à calculer la somme \(S\) des termes allant de \(u_4\) à \(u_{10}\) inclus, soit \(7\) termes.

\(S=\text{nombre de termes dans la somme} \times \dfrac{\text{premier terme}+\text{dernier terme}}{2}=7\times \dfrac{u_4+u_{10}}{2}\)

Or \(u_{4}=1+3\times4=1+12=13\) et \(u_{10}=1+3\times10=1+30=31\).

Ainsi \(S=7\times\dfrac{13+31}{2}=7\times\dfrac{44}{2}=7\times22=154\).